BPSC TRE 3.0 गणित प्रश्न पत्र (कक्षा 11–12, 22 जुलाई 2024) आधिकारिक उत्तर सहित

BPSC TRE 3.0 गणित प्रश्न पत्र (कक्षा 11–12, 22 जुलाई 2024): भाग III के गणित के सभी 80 प्रश्न, BPSC की आधिकारिक संशोधित अंतिम उत्तर कुंजी और हर प्रश्न की छोटी व्याख्या के साथ।

BPSC TRE 4.0 में 33,320 शिक्षक पदों पर आवेदन चल रहे हैं, जिनमें 16,540 पद कक्षा 11–12 के हैं। आपका विषय 150 में से 80 अंक का होता है, इसलिए पिछला पेपर हल करना गणित में BPSC का स्तर समझने का सबसे अच्छा तरीका है।

विषय सूची

• परीक्षा का विवरण
• गणित प्रश्न उत्तर सहित (Q71–150)
• तैयारी कैसे करें
• अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

BPSC TRE 3.0 गणित (कक्षा 11–12): परीक्षा का विवरण

परीक्षा	BPSC विद्यालय अध्यापक (पुनः) परीक्षा, TRE 3.0 (विज्ञापन सं. 22/2024)
विषय	गणित, कक्षा 11–12
परीक्षा तिथि	22 जुलाई 2024, पहली पाली
पेपर	150 प्रश्न, 150 अंक, 2 घंटे 30 मिनट
भाग I	भाषा (क्वालीफाइंग): Q1–30
भाग II	सामान्य अध्ययन: Q31–70 (यहाँ हल करें)
भाग III	गणित: Q71–150 (इस पेज पर)
उत्तर	BPSC संशोधित अंतिम उत्तर कुंजी, पुस्तिका सीरीज़ E
BPSC द्वारा रद्द प्रश्न	Q83

BPSC TRE 3.0 गणित प्रश्न उत्तर सहित (Q71–150)

प्रश्न संख्या मूल प्रश्न पुस्तिका जैसी ही है। उत्तर BPSC की संशोधित अंतिम उत्तर कुंजी से हैं; व्याख्या ExamYaari टीम ने लिखी है।

Q71. यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तब A + A′ होगी

(A) सममित
(B) विषम सममित
(C) विषम हर्मिटियन
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) सममित
व्याख्या: (A + A′)′ = A′ + A = A + A′, अतः A + A′ अपने परिवर्त के बराबर है और सदैव सममित होता है।

Q72. यदि Aₘₓₙ और Bₚₓq कोई दो आव्यूह है तथा उनका गुणन Aₘₓₙ · Bₚₓq = Cₘₓq से परिभाषित है, तब सत्य होगा

(A) n < p
(B) n > p
(C) n = p
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) n = p
व्याख्या: गुणन AB तभी परिभाषित होता है जब A के स्तंभों की संख्या B की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो, अतः n = p।

Q73. यदि A = [[1, 2], [−1, 1]] एक आव्यूह है तब A² − 2A + 2I का मान है –

(A) I
(B) O
(C) −I
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) −I
व्याख्या: A² = [[−1, 4], [−2, −1]], −2A = [[−2, −4], [2, −2]] तथा 2I = [[2, 0], [0, 2]]। जोड़ने पर [[−1, 0], [0, −1]] = −I मिलता है।

Q74. सदिश (1, 0, 0), (0, 1, −1) और (0, 1, 2) है

(A) एकघातत परतंत्र
(B) एकघातत स्वतंत्र
(C) निश्चित नहीं
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) एकघातत स्वतंत्र
व्याख्या: इन तीनों सदिशों का सारणिक 1 × (1·2 − (−1)·1) = 3 ≠ 0 है, अतः ये एकघातत स्वतंत्र हैं।

Q75. सारणिको के मान Δ₁ = |2 0 0; 3 4 0; 5 6 8| तथा Δ₂ = |4 4 8; 0 8 2; 0 0 2| है तब निम्न में से कौन सा विकल्प सत्य होगा

(A) Δ₁ > Δ₂
(B) Δ₁ < Δ₂
(C) Δ₁ = Δ₂
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) Δ₁ = Δ₂
व्याख्या: दोनों त्रिभुजाकार सारणिक हैं, अतः मान विकर्ण के गुणनफल के बराबर है: Δ₁ = 2 × 4 × 8 = 64 तथा Δ₂ = 4 × 8 × 2 = 64। अतः Δ₁ = Δ₂।

Q76. समान क्रम के वर्ग आव्यूहों का समुच्चय, किस नियम का पालन करता है?

(A) साहचर्य नियम
(B) तत्समक नियम
(C) क्रम विनिमेय नियम
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
व्याख्या: समान क्रम के वर्ग आव्यूहों का गुणन साहचर्य है और उसका तत्समक (I) होता है, परन्तु सामान्यतः क्रम विनिमेय नहीं होता। दो विकल्प सही हैं, अतः उत्तर ‘उपर्युक्त में से एक से अधिक’ है।

Q77. यदि A को n अवयवों वाला समुच्चय है तब उसके सभी उपसमुच्चयों की संख्या होगी

(A) n²
(B) 2ⁿ
(C) 2n
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) 2ⁿ
व्याख्या: प्रत्येक अवयव उपसमुच्चय में होगा या नहीं होगा, अतः कुल 2 × 2 × … × 2 = 2ⁿ उपसमुच्चय बनते हैं।

Q78. यदि α + β = π, तब (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) का मान होगा

(A) 0
(B) 1
(C) −1
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) −1
व्याख्या: द-मुआवर के अनुसार गुणनफल = cos(α + β) + i sin(α + β) = cos π + i sin π = −1।

Q79. यदि R एक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा f : R → R, f(x) = 2x + 1, ∀x ∈ R से परिभाषित है तब f है –

(A) बहुऐकी आच्छादक
(B) एकैकी आच्छादक
(C) एकैकी अन्तःक्षेपी
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) एकैकी आच्छादक
व्याख्या: 2x₁ + 1 = 2x₂ + 1 से x₁ = x₂, अतः f एकैकी है; तथा प्रत्येक वास्तविक y के लिए x = (y − 1)/2 मिलता है, अतः f आच्छादक है।

Q80. यदि R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, f : R → R निम्न प्रकार परिभाषित है, f(x) = x − 2, ∀x ∈ R, निम्न में से कौन सा विकल्प उपयुक्त होगा

(A) (4, 2)
(B) (8, 6)
(C) (5, 3)
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
व्याख्या: प्रत्येक युग्म (x, f(x)) में दूसरा अवयव = पहला − 2 होना चाहिए: 4 − 2 = 2, 8 − 2 = 6 तथा 5 − 2 = 3। तीनों सही हैं, अतः उत्तर ‘उपर्युक्त में से एक से अधिक’ है।

Q81. किसी वर्ग समीकरण के दो मूलों का योग 5 तथा गुणन 6 तब उसका समीकरण होगा

(A) x² − 5x + 6 = 0
(B) x² + 5x − 6 = 0
(C) x² − 6x + 5 = 0
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) x² − 5x + 6 = 0
व्याख्या: वर्ग समीकरण x² − (योग)x + (गुणनफल) = 0 होता है, अतः x² − 5x + 6 = 0।

Q82. यदि a + ib किसी बहुपद f(x) एक मूल है तो f(a − ib) का मान होगा

(A) a − ib
(B) a
(C) b
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
व्याख्या: वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में आते हैं, अतः a − ib भी मूल है और f(a − ib) = 0। शून्य किसी विकल्प में नहीं है।

Q83. उस वर्ग समीकरण को ज्ञात कीजिए, जिसके मूल समीकरण x² − 2x + 3 = 0 के मूलों के व्युत्क्रम है –

(A) 2x² − 3x + 1 = 0
(B) 6x² + 4x + 2 = 0
(C) 3x² − 2x + 1 = 0
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: प्रश्न रद्द (BPSC ने अंतिम उत्तर कुंजी में यह प्रश्न हटा दिया)
व्याख्या: BPSC ने अंतिम उत्तर कुंजी में यह प्रश्न हटा (डिलीट कर) दिया है। x के स्थान पर 1/x रखने पर 3x² − 2x + 1 = 0 मिलता है, जो हिन्दी संस्करण के विकल्प (C) से मेल खाता है, परन्तु अंग्रेज़ी संस्करण में यह 3x² + 2x + 1 = 0 छपा है।

Q84. बहुपद x³ − 3x² + x − 3 = 0 के धनात्मक मूल होंगे

(A) अधिक से अधिक 3 धनात्मक मूल
(B) अधिक से अधिक 2 धनात्मक मूल
(C) सभी समिश्र मूल
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
व्याख्या: x³ − 3x² + x − 3 = (x − 3)(x² + 1), अतः मूल 3, i तथा −i हैं: ठीक एक धनात्मक मूल। BPSC की संशोधित अंतिम कुंजी के अनुसार उत्तर (E) है; पहले की अंतिम कुंजी में (A) दिया गया था।

Q85. सर्वांगसम संबंध 2x ≡ 1 (mod 7) का हल है

(A) 4
(B) 2
(C) 1
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) 4
व्याख्या: x = 4 रखने पर 2 × 4 = 8 = 7 + 1, अतः 8 ≡ 1 (mod 7)। इसलिए x = 4।

Q86. यदि [·] महत्तम पूर्णांक फलन को प्रदर्शित करता है तब [5.7] + [3.2] का मान होगा –

(A) 9
(B) 10
(C) 8
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) 8
व्याख्या: [5.7] = 5 तथा [3.2] = 3, अतः योग 8 है।

Q87. f(x) = x³ − 12x² + 47x − 60 तथा g(x) = x² − 5x + 6 का महत्तम सर्व भाजक है

(A) x − 1
(B) x − 2
(C) x − 3
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) x − 3
व्याख्या: g(x) = (x − 2)(x − 3)। f(2) = 8 − 48 + 94 − 60 = −6 ≠ 0 परन्तु f(3) = 27 − 108 + 141 − 60 = 0, अतः उभयनिष्ठ गुणनखंड x − 3 है।

Q88. यदि “a” को “p” से भाग दिया जाता है तो शेषफल 5 प्राप्त होता है यदि a² को “p” से भाग दिया जाता है तो शेषफल होगा

(A) 5
(B) 25
(C) 125
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
व्याख्या: a² को p से भाग देने पर वही शेषफल आता है जो 25 को p से भाग देने पर, और यह p पर निर्भर है (जैसे p = 7 पर 4, p = 6 पर 1)। कोई एक विकल्प सदैव सही नहीं है, अतः BPSC की कुंजी में उत्तर (E) है।

Q89. दो संख्याओं का अनुपात 2:3 है तथा उनके लघुत्तम समापवर्तक और महत्तम समापवर्तको का गुणन 294 है, तो वे संख्याऐं होगी –

(A) 2, 3
(B) 14, 21
(C) 10, 15
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) 14, 21
व्याख्या: ल.स. × म.स. = संख्याओं का गुणनफल, अतः 2k × 3k = 6k² = 294, जिससे k² = 49 और k = 7। संख्याएँ 14 तथा 21 हैं।

Q90. निम्नलिखित में से कौन सा समुच्चय है

(A) अंग्रेजी वर्णमाला में स्वरों का समुच्चय
(B) एक वर्ष में सभी माहों का समुच्चय
(C) प्राकृत संख्याऐ जो 10 से कम हो
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
व्याख्या: तीनों सुपरिभाषित संग्रह हैं (स्पष्ट है कि कौन-से अवयव शामिल हैं), अतः तीनों समुच्चय हैं और उत्तर ‘उपर्युक्त में से एक से अधिक’ है।

Q91. यदि A तथा B कोई दो अरिक्त समुच्चय है तो कौन सा विकल्प सत्य है

(A) A − B = A ∩ (Bᶜ)
(B) A − B = B ∩ (Aᶜ)
(C) A − B = (A ∩ B)ᶜ
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) A − B = A ∩ (Bᶜ)
व्याख्या: A − B उन अवयवों का समुच्चय है जो A में हैं पर B में नहीं, जो ठीक A ∩ Bᶜ है।

Q92. यदि A = {1, 2, 3} तथा B = {4, 5, 6} तब A से B तक सभी सम्भावित फलनो की संख्या होगी

(A) 3
(B) 6
(C) 27
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) 27
व्याख्या: A के प्रत्येक 3 अवयव B के किसी भी 3 अवयवों पर जा सकते हैं, अतः कुल 3³ = 27 फलन।

Q93. lim x→0 (e^2x − 1)/(5x) का मान होगा

(A) 0
(B) 1/5
(C) 2/5
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) 2/5
व्याख्या: इसे (2/5) × (e^2x − 1)/(2x) लिखें। चूँकि t → 0 पर (e^t − 1)/t → 1, अतः सीमा 2/5 है।

Q94. lim x→0 (log sin 2x)/(log sin x) का मान होगा

(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) 1
व्याख्या: यह ∞/∞ रूप है, अतः लोपिताल नियम से सीमा = lim (2 cot 2x)/(cot x) = lim (2 tan x)/(tan 2x) = 2 × (1/2) = 1।

Q95. निम्नलिखित में कौन सा, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है

(A) f(x) = |x − 1|, x ∈ R
(B) f(x) = [x], x ∈ R
(C) f(x) = 1 + (1 − x)^1/3, x ∈ R
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
व्याख्या: |x − 1| का x = 1 पर नुकीला कोना है, [x] x = 1 पर असतत है, और (1 − x)^1/3 की वहाँ ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा है (अवकलज → ∞)। तीनों x = 1 पर अवकलनीय नहीं हैं, अतः उत्तर ‘उपर्युक्त में से एक से अधिक’ है।

Q96. xˣ का x के सापेक्ष अवकलन है

(A) xˣ(1 + logₑ x)
(B) xˣ(1 − logₑ x)
(C) x⁻ˣ
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) xˣ(1 + logₑ x)
व्याख्या: y = xˣ लें, तो log y = x log x। अवकलन करने पर (1/y) dy/dx = log x + 1, अतः dy/dx = xˣ(1 + logₑ x)।

Q97. समाकलन ∫₋₁¹ sin⁵x · cos⁴x dx का मान है

(A) π/2
(B) π/4
(C) 0
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) 0
व्याख्या: sin⁵x · cos⁴x एक विषम फलन है (x को −x करने पर चिह्न बदलता है), और सीमाएँ −1 से 1 सममित हैं, अतः समाकल 0 है।

Q98. समाकल ∫₀^π/2 √(sin x)/(√(sin x) + √(cos x)) dx का मान है

(A) π/4
(B) π/2
(C) π
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) π/4
व्याख्या: x के स्थान पर π/2 − x रखने पर I = ∫₀^π/2 √(cos x)/(√(cos x) + √(sin x)) dx। दोनों को जोड़ने पर 2I = ∫₀^π/2 1 dx = π/2, अतः I = π/4।

Q99. समाकल ∫ √(1 + sin x) dx का मान है

(A) sin(x/2) + cos(x/2)
(B) 2(cos(x/2) − sin(x/2))
(C) 2(sin(x/2) − cos(x/2))
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) 2(sin(x/2) − cos(x/2))
व्याख्या: 1 + sin x = (sin(x/2) + cos(x/2))², अतः समाकल्य sin(x/2) + cos(x/2) है। समाकलन करने पर −2cos(x/2) + 2sin(x/2) = 2(sin(x/2) − cos(x/2)) + C।

Q100. वृत्त x² + y² = 16 द्वारा प्रथम चतुर्थांश में अन्तरिक क्षेत्रफल है

(A) π
(B) 2π
(C) 3π
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
व्याख्या: त्रिज्या = 4, अतः पूरा क्षेत्रफल 16π और प्रथम चतुर्थांश का भाग 16π/4 = 4π है, जो किसी विकल्प में नहीं है।

Q101. यदि x और y कोई दो धनात्मक राशिया है तथा x > 0, तब आर्कमिडिज प्रगुण के अनुसार एक पूर्णांक n इस प्रकार है कि

(A) nx < y
(B) nx > y
(C) nx = y
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) nx > y
व्याख्या: आर्कमिडीज़ गुण के अनुसार किसी भी वास्तविक x > 0 तथा किसी भी वास्तविक y के लिए एक धन पूर्णांक n ऐसा होता है कि nx > y।

Q102. फलन f(x) = { x³ + 3 ; x ≠ 0 तथा 1 ; x = 0 }, तब निम्न में कौन सा विकल्प सत्य है

(A) f(x), x = 0 पर सतंत है
(B) f(x), x = 0 पर अवकलनीय है
(C) सतंतता के लिए कहा नहीं जा सकता
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
व्याख्या: x → 0 पर f(x) → 0 + 3 = 3, परन्तु f(0) = 1। अतः f, 0 पर संतत नहीं है और इसलिए अवकलनीय भी नहीं; स्पष्ट कहा जा सकता है कि यह असतत है। A–C में से कोई सत्य नहीं।

Q103. निम्नांकित कौन सा कथन असत्य है

(A) प्रत्येक सतंत फलन, अवकलनीय है
(B) प्रत्येक अवकलनीय फलन सतंत है
(C) प्रत्येक बहुपद वास्तविक मानों के लिए सतंत है
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) प्रत्येक सतंत फलन, अवकलनीय है
व्याख्या: |x|, 0 पर संतत है परन्तु अवकलनीय नहीं, अतः कथन (A) असत्य है। (B) तथा (C) सत्य हैं।

Q104. कौन सा कथन सत्य नहीं है

(A) प्रत्येक उपरि परिबद्ध समुच्चय के लिए एक उच्चक का अस्तित्व होता है
(B) प्रत्येक निम्न परिबद्ध समुच्चय के लिए एक निम्नक का अस्तित्व होता है
(C) प्रत्येक परिबद्ध समुच्चय के लिए उच्चक और निम्नक का अस्तित्व होता है
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
व्याख्या: वास्तविक संख्याओं के पूर्णता गुण से प्रत्येक (अरिक्त) उपरि परिबद्ध समुच्चय का सुप्रीमम तथा प्रत्येक निम्न परिबद्ध समुच्चय का इन्फिमम होता है, अतः परिबद्ध समुच्चय के दोनों होते हैं। तीनों कथन सत्य हैं, अतः उत्तर (E) है।

Q105. अवकल समीकरण d²y/dx² = (dy/dx)^1/3 + y, की कोटि और घात है

(A) (2, 1)
(B) (3, 2)
(C) (2, 3)
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) (2, 3)
व्याख्या: इसे d²y/dx² − y = (dy/dx)^1/3 लिखकर दोनों ओर घन करें: (d²y/dx² − y)³ = dy/dx। उच्चतम अवकलज द्वितीय कोटि का है और उसकी घात 3 है, अतः (कोटि, घात) = (2, 3)।

Q106. उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जो (−2, 3) से होकर जाता है तथा किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की आनति 2x/y² है –

(A) y³ = 3x² + 15
(B) y² = 3x³ + 5
(C) x² + y² = 25
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) y³ = 3x² + 15
व्याख्या: dy/dx = 2x/y² से y² dy = 2x dx, अतः y³/3 = x² + c। (−2, 3) पर: 9 = 4 + c, अतः c = 5 और y³ = 3x² + 15।

Q107. अवकल समीकरण dy/dx − y/x = 2x² का हल है

(A) y = x² + c
(B) y = x + c
(C) y = x³ + cx
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) y = x³ + cx
व्याख्या: यह रैखिक समीकरण है, समाकलन गुणक e^−∫dx/x = 1/x। तब d(y/x)/dx = 2x, अतः y/x = x² + c, अर्थात् y = x³ + cx।

Q108. यदि p = dy/dx तब अवकल समीकरण y = px + p² का व्यापक हल है

(A) y = cx + 2c
(B) y = cx + c²
(C) y = x² + c
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) y = cx + c²
व्याख्या: यह क्लेरो समीकरण y = px + f(p) है; इसका व्यापक हल p = c रखकर मिलता है: y = cx + c²।

Q109. अवकल समीकरण dy/dx = −4xy²; y(0) = 1 के लिए विशेष हल है

(A) (2x² + 1)y = 1
(B) (2y² + 1)x = 1
(C) x² + 2y² = 1
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) (2x² + 1)y = 1
व्याख्या: चर पृथक करें: dy/y² = −4x dx, अतः −1/y = −2x² + c। y(0) = 1 से c = −1, अतः 1/y = 2x² + 1, अर्थात् (2x² + 1)y = 1।

Q110. कोटि 3 के अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्याँ है

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) 3
व्याख्या: n कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में n स्वेच्छ अचर होते हैं, अतः कोटि 3 के लिए 3 अचर।

Q111. अवकल समीकरण x dx − y dy = 0 के हल का बिन्दु पथ है

(A) दीर्घवृत्त
(B) अतिपरवलय
(C) परवलय
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) अतिपरवलय
व्याख्या: समाकलन करने पर x²/2 − y²/2 = c, अर्थात् x² − y² = k, जो (आयताकार) अतिपरवलयों का कुल है।

Q112. अवकल समीकरण x dy + y dx = 0 का हल सममित है

(A) x = 0 के सापेक्ष
(B) y = 0 के सापेक्ष
(C) y = x के सापेक्ष
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) y = x के सापेक्ष
व्याख्या: x dy + y dx = d(xy) = 0, अतः xy = c। x और y को आपस में बदलने पर xy = c वही रहता है, अतः वक्र y = x के सापेक्ष सममित है (किसी अक्ष के सापेक्ष नहीं)।

Q113. परवलय y² = 4x तथा x² = 4y से अन्तरित क्षेत्रफल है

(A) 16/3
(B) 15/4
(C) 8/3
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) 16/3
व्याख्या: वक्र (0, 0) तथा (4, 4) पर मिलते हैं। क्षेत्रफल = ∫₀⁴ (2√x − x²/4) dx = (4/3)·8 − 64/12 = 32/3 − 16/3 = 16/3।

Q114. फलन f(x) = sin 3x, की प्रकृति अन्तराल [0, π/6] में है।

(A) घटते क्रम में
(B) बढ़ते क्रम में
(C) न तो घटते क्रम में और न ही बढ़ते क्रम में
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) बढ़ते क्रम में
व्याख्या: x ∈ [0, π/6] के लिए 3x ∈ [0, π/2], जहाँ sine 0 से 1 तक बढ़ता है; साथ ही f′(x) = 3cos 3x ≥ 0। अतः f वर्धमान है।

Q115. फलन f(x) = |x − 3|, निम्न में से किस बिन्दु पर प्राप्त होता है

(A) x = 1
(B) x = 2
(C) x = 3
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) x = 3
व्याख्या: |x − 3| ≥ 0 है और केवल x = 3 पर 0 होता है, अतः न्यूनतम मान x = 3 पर है।

Q116. फलन f(x) = 3x⁴ + 4x³ − 12x² + 12 का महत्तम मान है

(A) 19
(B) 12
(C) 09
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) 12
व्याख्या: f′(x) = 12x³ + 12x² − 24x = 12x(x + 2)(x − 1), अतः क्रांतिक बिन्दु 0, −2 तथा 1 हैं। f″(0) = −24 < 0, अतः x = 0 पर (स्थानीय) महत्तम मान f(0) = 12 है।

Q117. ∫ log x dx का मान है

(A) xˣ + c
(B) x(log x + 1)x + c
(C) x(log x − 1) + c
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) x(log x − 1) + c
व्याख्या: खंडशः समाकलन (u = log x, dv = dx): ∫ log x dx = x log x − ∫ x · (1/x) dx = x log x − x + c = x(log x − 1) + c।

Q118. (1 + i)⁴ का मान है

(A) −4
(B) 4e^iπ
(C) −4e^−iπ/2
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
व्याख्या: (1 + i)² = 2i, अतः (1 + i)⁴ = (2i)² = −4। साथ ही 4e^iπ = 4(−1) = −4, जबकि −4e^−iπ/2 = −4(−i) = 4i। विकल्प A तथा B दोनों सही हैं, अतः उत्तर ‘उपर्युक्त में से एक से अधिक’ है।

Q119. i का कोणांक है

(A) π/4
(B) π/2
(C) π
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) π/2
व्याख्या: i = 0 + 1·i धनात्मक काल्पनिक अक्ष पर स्थित है, अतः इसका कोणांक π/2 है।

Q120. a + 3i का मापांक 5 है, तो a का मान होगा

(A) 4
(B) −4
(C) 2
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
व्याख्या: √(a² + 9) = 5 से a² = 16, अतः a = 4 या −4। विकल्प A तथा B दोनों सही हैं, अतः उत्तर ‘उपर्युक्त में से एक से अधिक’ है।

Q121. 1³ + 2³ + 3³ + ……… + n³ का मान है

(A) n(n + 1)/2
(B) n(n + 1)(n + 2)/6
(C) n(n + 1)(2n + 1)/6
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
व्याख्या: प्रथम n घनों का योग [n(n + 1)/2]² है, जो किसी विकल्प में नहीं है। (विकल्प C वर्गों का योग है।)

Q122. iⁱ का वास्तविक भाग है

(A) e^−π/2
(B) e^π/2
(C) 1
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) e^−π/2
व्याख्या: मुख्य मान: i = e^iπ/2, अतः iⁱ = e^i·iπ/2 = e^−π/2, जो एक वास्तविक संख्या है।

Q123. यदि A′ समुच्चय A के सभी बिन्दुओं संग है तथा Ā, A का संवरक है तो

(A) Ā = A ∪ A′
(B) Ā = A ∩ A′
(C) Ā = A′ ∪ A
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
व्याख्या: A का संवरक A तथा उसके सीमा बिन्दुओं का संघ है: Ā = A ∪ A′। संघ क्रम विनिमेय है, अतः A′ ∪ A भी वही समुच्चय है; A तथा C दोनों सही हैं।

Q124. यदि x ∈ (a, b] तब कौन सा विकल्प सही है

(A) a ≤ x < b
(B) a < x ≤ b
(C) a ≤ x ≤ b
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) a < x ≤ b
व्याख्या: (a, b] में गोल कोष्ठक a को शामिल नहीं करता और वर्ग कोष्ठक b को शामिल करता है, अतः a < x ≤ b।

Q125. निम्न में से कौन सा रिक्त समुच्चय है

(A) { }
(B) {φ}
(C) {a}
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) { }
व्याख्या: { } में कोई अवयव नहीं है, अतः यह रिक्त समुच्चय है। {φ} में एक अवयव (रिक्त समुच्चय) है और {a} में a है, अतः ये रिक्त नहीं हैं।

Q126. समुच्चय [−1, 1] − {0} तुल्य है

(A) [−1, 0] ∪ [0, 1]
(B) (−1, 0) ∪ (0, 1)
(C) [−1, 0) ∪ (0, 1]
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) [−1, 0) ∪ (0, 1]
व्याख्या: केवल 0 हटाने पर दोनों अंत्य बिन्दु −1 तथा 1 बने रहते हैं, अतः समुच्चय [−1, 0) ∪ (0, 1] है।

Q127. सदिश 3j + 4k की दिशा में कौन सा एकांक सदिश है

(A) (1/5)(3j + 4k)
(B) (1/7)(3j + 4k)
(C) i + j + k
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) (1/5)(3j + 4k)
व्याख्या: |3j + 4k| = √(9 + 16) = 5, अतः एकांक सदिश (1/5)(3j + 4k) है।

Q128. सदिश 2i − j + k, i − 3j − 5k तथा 3i − 4j + ak समतलीय है तो a का मान होगा

(A) 4
(B) −4
(C) 5
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) −4
व्याख्या: समतलीय होने के लिए |2 −1 1; 1 −3 −5; 3 −4 a| = 0: 2(−3a − 20) + (a + 15) + (−4 + 9) = −5a − 20 = 0, अतः a = −4।

Q129. बिन्दु A तथा B के स्थिति सदिश i + 2j − k तथा −i + j + k है, बिन्दु Q रेखा AB को बाह्यतया 2:1 में विभाजित करता है, तो Q का स्थिति सदिश होगा

(A) −3i + 3k
(B) −3j + 3k
(C) 3i − 3j − 3k
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) −3i + 3k
व्याख्या: बाह्य विभाजन 2 : 1 से Q = (2B − A)/(2 − 1) = 2(−i + j + k) − (i + 2j − k) = −3i + 0j + 3k।

Q130. यदि सदिश a⃗ + b⃗ + c⃗ = 0⃗ तथा |a⃗| = 3, |b⃗| = 5, |c⃗| = 7 तब a⃗ तथा b⃗ के बीच बना कोण है

(A) π
(B) π/2
(C) π/3
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) π/3
व्याख्या: c⃗ = −(a⃗ + b⃗), अतः 49 = 9 + 25 + 2·3·5 cos θ, जिससे cos θ = 15/30 = 1/2 और θ = π/3।

Q131. यदि a⃗ = 5i − j − 3k तथा b⃗ = i + 3j − 5k तब a⃗ + b⃗ और a⃗ − b⃗ होंगे

(A) समानांतर
(B) लम्बवत
(C) 45° पर झुके है
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) लम्बवत
व्याख्या: (a⃗ + b⃗)·(a⃗ − b⃗) = |a⃗|² − |b⃗|² = 35 − 35 = 0, अतः दोनों सदिश लम्बवत हैं।

Q132. किसी त्रिभुज के कोणीय बिन्दु A(1, 1, 1), B(1, 2, 3) तथा C(2, 3, 1) है, तब त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग इकाई में है

(A) √21
(B) √11/2
(C) √21/2
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) √21/2
व्याख्या: AB⃗ = j + 2k तथा AC⃗ = i + 2j, अतः AB⃗ × AC⃗ = −4i + 2j − k जिसका परिमाण √21 है। क्षेत्रफल = (1/2)√21 = √21/2।

Q133. उस सरल रेखा का समीकरण जो बिन्दु (1, 2, 3) से गुजरती है तथा सदिश 3i + 2j − 2k के समानांतर है

(A) r⃗ = i + 2j + 3k + λ(3i + 2j − 2k), λ ∈ R
(B) r⃗ = 3i + 2j − 2k + λ(i + 2j + 3k), λ ∈ R
(C) r⃗ = 6i + λ(3i + 2j − 2k), λ ∈ R
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) r⃗ = i + 2j + 3k + λ(3i + 2j − 2k), λ ∈ R
व्याख्या: बिन्दु a⃗ से होकर b⃗ के समानांतर रेखा r⃗ = a⃗ + λb⃗ होती है, अतः r⃗ = i + 2j + 3k + λ(3i + 2j − 2k)। विकल्प C बिन्दु (1, 2, 3) से नहीं गुजरता।

Q134. “a” के किस मान के लिए (x − 5)/7 = (y + 2)/a = z/1 तथा x/1 = y/2 = z/3, लम्बवत है –

(A) −5
(B) 5
(C) 4
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) −5
व्याख्या: लम्बवत रेखाओं के दिक्-अनुपातों का अदिश गुणन शून्य होता है: 7·1 + a·2 + 1·3 = 0, अतः 2a = −10 और a = −5।

Q135. बाध्यता 5x + y ≤ 100, x + y ≤ 60 और x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा बना क्षेत्र है

(A) अव्यवहार्य
(B) व्यवहार्य (संभव)
(C) निश्चित नहीं
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) व्यवहार्य (संभव)
व्याख्या: (0, 0) या (10, 40) जैसे बिन्दु चारों बाध्यताओं को संतुष्ट करते हैं, अतः क्षेत्र अरिक्त अर्थात् व्यवहार्य है।

Q136. अधिकतम Z = 4x + y का मान बाध्यता x + y ≤ 50, 3x + y ≤ 90, x ≥ 0, y ≥ 0 पर है

(A) 40
(B) 80
(C) 120
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) 120
व्याख्या: कोणीय बिन्दु (0, 0), (30, 0), (20, 30) तथा (0, 50) हैं, जिन पर Z = 0, 120, 110 तथा 50। अधिकतम मान (30, 0) पर 120 है।

Q137. उद्देश्य फलन का इष्टतम मान किस बिन्दु पर प्राप्त होता है

(A) व्यवहार्य क्षेत्र के अन्दर
(B) व्यवहार्य क्षेत्र के केन्द्र पर
(C) व्यवहार्य क्षेत्र के बाहर
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
व्याख्या: कोणीय बिन्दु प्रमेय के अनुसार रैखिक उद्देश्य फलन का इष्टतम मान व्यवहार्य क्षेत्र के किसी कोणीय बिन्दु (शीर्ष) पर मिलता है, जो A–C में से कोई नहीं कहता।

Q138. सिम्पलेक्स विधि किसकी देन है

(A) जी.बी. डेन्जिग
(B) एल. कटोरोविच
(C) टी.सी. कूपमेन्स
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) जी.बी. डेन्जिग
व्याख्या: रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने की सिम्पलेक्स विधि जॉर्ज बी. डेन्ज़िग ने 1947 में विकसित की।

Q139. रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में इष्टतम फलन होता है

(A) जिसको महत्तम करना होता है
(B) जिसको न्यूनतम करना होता है
(C) जिसको न तो महत्तम न तो न्यूनतम करना होता है
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
व्याख्या: उद्देश्य फलन वह रैखिक फलन है जिसे इष्टतम किया जाता है; इसे महत्तम (जैसे लाभ) या न्यूनतम (जैसे लागत) किया जा सकता है। A तथा B दोनों सही हैं, अतः उत्तर ‘उपर्युक्त में से एक से अधिक’ है।

Q140. कौन सा समुच्चय उत्तल समुच्चय है

(A) {(x, y) : x² + y² ≥ 1}
(B) {(x, y) : y² ≥ x}
(C) {(x, y) : y ≥ 2, y ≤ 4}
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) {(x, y) : y ≥ 2, y ≤ 4}
व्याख्या: पट्टी 2 ≤ y ≤ 4 अपने किन्हीं दो बिन्दुओं के बीच का पूरा रेखाखंड रखती है, अतः उत्तल है। (A) में (−1, 0) से (1, 0) का रेखाखंड (0, 0) से गुजरता है जो समुच्चय में नहीं; (B) में (1, 1) और (1, −1) समुच्चय में हैं पर (1, 0) नहीं।

Q141. यदि A और B कोई दो घटनाऐं है जहाँ P(A) = .6, P(B) = .3, P(A ∩ B) = .2, तब P(A/B) है

(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 1/3
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) 2/3
व्याख्या: P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.3 = 2/3।

Q142. दो पासो को युग्म रूप से फेका जाता है, तब उनका योग 7 आने की प्रायिकता है

(A) 1/6
(B) 5/6
(C) 1
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) 1/6
व्याख्या: योग 7 के परिणाम (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) हैं: 36 में से 6, अतः प्रायिकता 1/6।

Q143. एक अधिवर्ष में 53 शुक्रवार होने की प्रायिकता है

(A) 1/7
(B) 2/7
(C) 3/7
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) 2/7
व्याख्या: अधिवर्ष में 52 सप्ताह और 2 अतिरिक्त दिन होते हैं। अतिरिक्त दिनों के 7 संभव युग्मों में से 2 में शुक्रवार है (गुरु–शुक्र, शुक्र–शनि), अतः प्रायिकता 2/7।

Q144. ALLAHABAD शब्द के अक्षरों कितने प्रकार से लिखा जा सकता है

(A) 5400
(B) 4500
(C) 7560
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) 7560
व्याख्या: ALLAHABAD में 9 अक्षर हैं जिनमें A चार बार और L दो बार है, अतः संख्या 9!/(4! × 2!) = 362880/48 = 7560।

Q145. यदि A और B ऐसी दो कोई घटनाऐ है कि P(A/B) = P(B/A) तब

(A) A ⊂ B
(B) P(A) = P(B)
(C) P(A) < P(B)
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) P(A) = P(B)
व्याख्या: P(A ∩ B)/P(B) = P(A ∩ B)/P(A); P(A ∩ B) (शून्येतर मानकर) काटने पर P(A) = P(B)।

Q146. एक समूह में 8 लड़कियाँ और 7 लड़के है। कितने प्रकार से एक टीम गठन किया जा सकता है जिसमें 4 सदस्य हो, और उसमें एक भी लड़की ना हो

(A) 35
(B) 25
(C) 15
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (A) 35
व्याख्या: चारों सदस्य 7 लड़कों में से चुनने हैं: ⁷C₄ = (7 × 6 × 5 × 4)/(4 × 3 × 2 × 1) = 35।

Q147. 6 लड़कों और 3 लड़कियों गोल टेबल पर कितने प्रकार से बैठाया जा सकता है, जबकि कोई प्रतिबंध ना हो

(A) 9!
(B) 8!
(C) 7!
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (B) 8!
व्याख्या: कुल 9 व्यक्ति हैं, और n व्यक्ति गोल मेज़ पर (n − 1)! प्रकार से बैठ सकते हैं, अतः उत्तर (9 − 1)! = 8!।

Q148. 10 प्रविष्टियों का माध्य 50 है। यदि प्रत्येक प्रविष्टि में से 5 घटा दिया जाये तो नया माध्य होगा

(A) 55
(B) 50
(C) 45
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) 45
व्याख्या: प्रत्येक प्रविष्टि में से समान संख्या घटाने पर माध्य भी उतना ही घटता है: 50 − 5 = 45।

Q149. निम्नलिखित में कौन सा विकल्प सही है

(A) माध्य − बहुलक = 3 (माध्य − माध्यिका)
(B) 3 माध्यिका = बहुलक + 2 माध्य
(C) माध्य − बहुलक = माध्यिका
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
व्याख्या: आनुभविक संबंध बहुलक = 3 माध्यिका − 2 माध्य है, अर्थात् 3 माध्यिका = बहुलक + 2 माध्य (B)। पुनर्व्यवस्थित करने पर माध्य − बहुलक = 3 माध्य − 3 माध्यिका = 3(माध्य − माध्यिका) (A)। A तथा B दोनों सही हैं।

Q150. (2x − 3)⁶ के प्रसार में x⁶ का गुणांक है

(A) 8
(B) 16
(C) 64
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं

उत्तर: (C) 64
व्याख्या: x⁶ वाला पद (2x)⁶ = 64x⁶ है, अतः गुणांक 64 है।

BPSC TRE गणित की तैयारी कैसे करें

• यह पेपर एक बार में टाइमर लगाकर हल करें: हर प्रश्न पर लगभग 1 मिनट।
• हर ग़लत उत्तर की व्याख्या पढ़ें और वह अध्याय अपनी किताबों से दोहराएँ।
• (D) एक से अधिक और (E) कोई नहीं पर ध्यान दें: हर विकल्प जाँचें, पहले सही दिखने वाले पर न रुकें।
• सामान्य अध्ययन भी हल करें: BPSC TRE 3.0 सामान्य अध्ययन (कक्षा 11–12)।
• ExamYaari ऐप पर टाइम वाले मॉक टेस्ट दें।

और संसाधन

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